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[数] ガロア理論その1

近所の店で食事中にTV(録画?)見ていて、たまたまガロア理論なんて
ものが流れていたので、久しぶりに復習をしてみようかと思う。


■基本

●群(group)
集合Gとその上での演算・が、以下をすべて満たすとき、組(G, ・)を群と呼ぶ。
(1) 結合法則 ∀a,b,c∈G , a・(b・c) = (a・b)・c
(2) 単位元 ∃e∈G s.t. ∀g∈G , e・g = g・e = g
(3) 逆元 ∀g∈G , ∃g^(-1) s.t. g・g^(-1) = g^(-1)・g = e
例として、集合Gを有理数、この演算「・」は加法や乗法を思い浮かべると、
こんなものだというのが少しイメージできるだろうか。

●アーベル群(abel group)、可換群
群Gがアーベル群とは、(G, ・)が群であり、さらに以下を満たすときをいう。
(4) 交換法則∀g,h∈G , g・h = h・g
整数と加法を考えると、これはアーベル群であると分かるかと思う。

●位数(order)、有限群(finite group)
群Gの元の数のことを位数と呼ぶ。群Gの位数が有限のとき、有限群と呼ぶ。

●部分群(subgroup)
(G, ・)を群とする。集合Gの部分集合H(≠φ、空でない)について、以下を満たすとき、HをGの部分群という
(1) ∀h, i∈H , h・i ∈H (Gの群演算に関し閉じている)
(2) ∀h∈H , h^(-1)∈H

●正規部分群(normal subgroup)
(G, ・)を群、Hを部分群とする。以下を満たすとき、HをGの正規部分群という。Nと書くことが多い
(1) ∀h∈H , ∀g∈G , ghg^(-1) ∈ H
gN = Ng (⊂G)となっている。

●命題
群Gの元g∈G、Gの部分群Hについて、gH = { gh∈G | h∈H } はGの部分集合である。
このとき∀g, g' ∈Gについて、gH, g'H は全く一致するか交わらないかいずれかである
(proof)
g, g'∈Gについて、あるj∈gH∩g'Hが存在すると仮定する。
このとき、あるh,h'∈Hによりj = g・h = g'・h'となる。
g = g'・h'・h^(-1)が成り立つので、g∈g'Hとなるが、
これはgH∩g'H=g'HつまりgH=g'Hを意味している。

そうでなければgH∩g'Hが空なので、全く交わらない。

●剰余類(residue class)
群Gの元g∈G、Gの部分群Hについて、gHはGの部分集合。
g, g' ∈Gについて、gH, g'H は全く一致するか交わらないかいずれかであり、
GはgHの直積としてG=Πg_i Hのように書ける。
このとき、g_i Hを剰余類といい、位数について、| g_i H | = | H | が成り立つ。
また、これから| G | = | Πg_i H |が| H |で割り切れることが分かる。
これをラグランジュの定理という。| G | / | H |をHのGに対する指数という。

●完全列

●同型

●自己同型

●体

●多項式




■ガロアの基本定理へ

●分解体


●拡大

●可解群

●正規拡大

●分離拡大

●ガロア拡大

●ガロア群

●中間体

●部分拡大

●ガロア対応


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